Сначала все задачи (решения с комментариями позже), вдруг кто захочет проверить свои силы:
- Мат.индукция: доказать, что ( 7∙11^n + 50∙n + 13 ) кратно 20 для любого натурального n.
- Делимости: чему равен остаток от деления ( 71^38 + 42^71 ) на 13?
- Комбинаторика: сколько четырехзначных чисел кратных четырем можно составить из цифр
2,3,4,5,6,7 (цифры не должны повторяться)? - Планиметрия: дан прямоугольный треугольник с катетом 10,5; радиус описанной окружности 7,25, найти радиус вписанной окружности.
- Построение: дан отрезок √2, построить с помощью циркуля и линейки отрезок √(2√5).
Ну, вперед! Каждая задача стоит 7 баллов.
- Решается простой индукцией, без хитростей. Так же можно решить методом остатков (рассмотреть, какие остатки дают степени 11-ти по модулю 20, найти закономерность, аналогично с 50*n; затем сложить их, прибавить 13 и получить ноль).
Полностью решили задачу 8 человек, полный ноль получили 6 человек. - 71 ≡ 6 (mod 13), 71^2 ≡ -3 (mod 13), ..., 71^12 ≡ 1 (mod 13) => 71^38 ≡ 71^2 ≡ -3 ≡ 10 (mod 13)
42 ≡ 3 (mod 13), 42^2 ≡ 9 (mod 13), 42^3 ≡ 1 (mod 13) => 42^71 ≡ 42^2 ≡ 9 (mod 13)
71^38 + 42^71 ≡ 10 + 9 ≡ 19 ≡ 6 (mod 13). Это и есть ответ. Задача сложна тем, что у 71 цикл длиной в 12 - очень многие делали арифметические ошибки.
Полностью решили задачу 9 человек, полный ноль получили 3 человека. - Признак делимости на 4 - число из последних двух цифр должно делится на 4. Итого у нас всего 8 вариантов на окончание числа (32, 52, 72, 24, 64, 36, 56, 76). Остается выбрать две цифры из четырех оставшихся на первые два места. Это размещение из 4 по 2, равно 4!/2! = 12. Для нахождения ответа перемножим 12 и 8 согласно правилу произведения. Задача не совсем тривиальная, на семинарах были проще, но за день до контрольной мы разбирали с ними такую же со слегка другим условием. Но многим это не помогло..
Полностью решили задачу 7 человек, полный ноль получили 10 человек. - Т.к. треугольник прямоугольный, его гипотенуза равна двум радиусам описанной окружности = 14,5. Третий катет тогда равен 10. По трем катетам используя теорему о равенстве касательных к вписанной окружности находим ее радиус = 3. Задача в три действия, никаких доп.построений, все очень линейно. Имхо несложная..
Полностью решили задачу 7 человек, полный ноль получили 8 человек. - Строим прямоугольный треугольник с катетами по корню из двух, гипотенуза равна 2. Делим попалам, получаем 1. В прямоугольном трегольнике с катетами 1 и 2 гипотенуза равна корню из пяти. Есть классическая задача на постоение корня из произведения, по ней строим корень из двух умноженных на корень из пяти. Все. Задача не из самых простых. Требует умение строить корни из целых и наоборот, и знание задачи на построение корня из произведения. В принципе все это мы разбирали и делали аналогичную задачу.. Толи никто не понял, вообщем хз...
Полностью решили задачу 6 человек, полный ноль получили 14 человек.
В итоге имеем..
5 человек с пятерками (28 баллов и больше ~ 4 задачи)
5 человек с четверками (от 15 до 27 баллов ~ 3 задачи)
9 человек с тройками (от 5 до 14 баллов ~ 1-2 задачи)
2 человека с двойками (менее 5 баллов ~ 0 задач)
Все задачи полностью решали примерно по 7 человек из 21-го - в принципе ожиданно было.
Хорошо, что практически все хоть как-то да решали мат.индукцию и делимость; ожиданно, что комбинаторику сложную не многие решат; по их решению планиметрии на семинарах можно было ожидать что и ее не многие решат; единственное мне непонятно, почему за построение так мало народу получило не нули.. Ведь даже за построенный отрезок √5 давали баллы - вот на этой теме в следующем году надо будет акцентировать внимание...
P.S. решил поискать ВКонтакте класс, удачно... Попробывал найти пятерых самых запомнившихся, нашел троих. Вот эта милая девочка написала на максимальный бал:
Комментариев нет:
Отправить комментарий